تجزیه و تحلیل فراکتال چیست؟

مفهوم "بعد فراکتال" به یک ریاضیدان قرن بیستم ، بنویت ماندلبروت نسبت داده می شود. نظریه فراکتال او به منظور تلاش برای تعیین دقیق تر پیچیدگی عظیم طبیعت در معادلات نسبتاً ساده توسعه یافته است. نمونه مورد علاقه او از چنین پیچیدگی ، سواحل دلپذیر انگلیس بود که وقتی از بسیار بالا دیده می شود ، تا حدودی چروکیده و پیچیده به نظر می رسد. با این حال ، هرچه یک ناظر به ساحل نزدیکتر و نزدیکتر می شود ، پیچیدگی خط ساحلی افزایش می یابد. خطوط صاف و محکم تر و پیچیده تر و پیچیده تر می شوند تا اینکه ناظر آنقدر نزدیک نباشد که او تغییر دقیقه را در موقعیت های هر دانه ماسه جداگانه در امتداد ساحل مشاهده می کند. علاوه بر این ، ما می توانیم تصور کنیم که این ناظر طول خط ساحلی را با حاکمان به طور فزاینده ای کوچکتر اندازه گیری می کند. از آنجا که او از پیچیدگی اضافه شده در حالی که با وضوح فزاینده ای دقیق می شود ، در نظر می گیرد ، تقریب وی به طول ساحل انگلیس در حال افزایش است. در حقیقت ، او به خوبی می توانست متوجه شود که طول او به دنبال واگرایی از بی نهایت است!

با این حال بدیهی است که این سواحل "بی نهایت طولانی" انگلیس فقط یک منطقه محدود را در بر می گیرد ، دقیقاً همانطور که دایره ای که بر روی جهان کشیده شده می تواند حاوی تمام انگلیس باشد. به نوعی ، ما معتقدیم که سواحل انگلیس از یک دایره ساده "قابل توجه" است و شاید جالب تر از یک خط 1 بعدی ساده باشد که دور یک دایره را تعریف می کند. بعد فراکتال به عنوان راهی برای تعیین کمیت این پیچیدگی متناقض ایجاد شد.

بنابراین ، N (تعداد قطعات مینیاتوری در شکل نهایی) برابر با S (ضریب مقیاس گذاری) است که به قدرت D (بعد) افزایش یافته است. در موارد قبلی ، با خواندن نمایشگر ، می توان بعد را پیدا کرد. این مفهوم ساده را می توان برای اندازه گیری ابعاد غیر انتگرال بسیاری از فراکتال ها تعمیم داد. یکی از این گونه های فراکتال ، برف وان koch است که شما در کلاس تولید کرده اید. Fractal مشترک دیگر مثلث Sierpinsky است که در زیر مورد بحث قرار می گیرد ، که با حذف پیاپی بخش میانی از یک مثلث دو طرفه ایجاد می شود.

ادامه این الگوی منجر به شکل فوق می شود. Fractal مورد محدود کننده ای است که هنگامی که تکرارها به بی نهایت ادامه می یابد ، نتیجه می گیرد. توجه کنید که قسمت سمت چپ پایین مثلث دقیقاً برابر با کل مثلث است که توسط یک عامل دو بزرگ می شود و قسمت پایین سمت چپ آن مثلث همان است که حاوی مثلث است و غیره. مثلث Sierpinsky خودکشی است.

اما ابعاد مثلث سیرپینسکی چیست؟توجه کنید که مثلث دوم از 3 مثلث مینیاتوری دقیقاً مانند نسخه اصلی تشکیل شده است. مثلث های کوچکتر می توانند توسط 2 مقیاس شوند تا کل مثلث تولید شود (S = 2). ارقام حاصل از 3 قطعه مینیاتوری یکسان جداگانه تشکیل شده است.(n = 3).

D چیست؟ما به سادگی لگاریتم معادله فوق را می گیریم. یادآوری ازN = S D ,

در حقیقت ، یک محاسبات بی اهمیت از معادله فوق بازده

D = log n/log S.

این فرمولی است که برای محاسبه ابعاد فراکتال از هرگونه فراکتال کاملاً شبیه خود استفاده می شود. ابعاد اندازه گیری چگونگی کاملاً این فراکتال ها خود را در فضای طبیعی اقلیدسی قرار داده است.

شناسایی ابعاد

1. گرد و غبار کانتور: n = 2 ، s = 3 ، d = log2/log3 = 0. 6309
2. جعبه فراکتال: n = 5 ، s = 3 ، d = log5/log3 = 1. 4649
3. منحنی Koch n = 4 ، S = 3 ، d = log4/log3 = 1. 2618
4. مورد دیگر: n = 8 ، s = 4 ، d = log8/log4 = 1. 5

فقط برای سرگرمی ، ابعاد فراکتال های تولید شده در هر یک از روش های زیر را پیدا کنید: (پاسخ ها در تلاوت بعضی اوقات داده می شود)

اگر به پیشرفت دقیق تری از تئوری فراکتالی علاقه دارید ، با "هندسه فراکتال طبیعت" توسط Benoit Mandelbrot مشورت کنید. این یک متن اصلی در این زمینه است و در یک سطح "آموزش دیده آموزش دیده" نوشته شده است. برای بحث دقیق تر در مورد نتایج اخیر ، از جمله برنامه های رایانه ای ، چند متن خوب خوب توسط مایکل اف. بارنزلی وجود دارد ، یکی از آنها تحت عنوان "فراکتال ها در همه جا" است اما بسیار متراکم است. هر دوی این کتاب ها کتابشناسی خوبی نیز دارند.

-پاتریک سفید تمام تصاویر فوق و بخشی از متن از سری آنلاین PWS وام گرفته شده است ، کپی رایت 1995 توسط شرکت انتشارات PWS. من فکر می کنم توضیحات من مفاهیم را واضح تر می کند ، اما این به شدت در وب سایت آنها بنا شده است.