چه موقع از یک نشانگر تصادفی استفاده کنید؟

جایی که نشان دهنده s - a ، مکمل a.

اگرچه متغیرهای تصادفی شاخص ممکن است برای یک برنامه کاربردی مانند شمارش تعداد مورد انتظار سر روی تلنگر یک سکه منفجر به نظر برسد ، اما آنها برای تجزیه و تحلیل موقعیت هایی که در آن کارآزمایی های تصادفی مکرر انجام می دهیم مفید هستند. به عنوان مثال ، متغیرهای تصادفی شاخص راهی ساده برای رسیدن به نتیجه معادله به ما می دهند (36). در این معادله ، ما با در نظر گرفتن جداگانه احتمال بدست آوردن 0 سر ، 1 سر ، 2 سر و غیره ، تعداد سرهای موجود در سکه N را محاسبه می کنیم. متغیرهابا بیان صریح تر این استدلال ، ما می توانیم اجازه دهیم x_iمتغیر تصادفی نشانگر مرتبط با رویدادی باشد که در آن سر می آید. اجازه می دهد_iمتغیر تصادفی باشد که نشان دهنده نتیجه تلنگر من باشد ، ما آن x را داریم_i= iy_i = H >بشربگذارید x متغیر تصادفی باشد که تعداد کل سرها را در تلنگر سکه N نشان می دهد ، به طوری

ما می خواهیم تعداد مورد انتظار سر را محاسبه کنیم ، بنابراین انتظار هر دو طرف معادله فوق را برای به دست می آوریم

سمت چپ معادله فوق انتظار مجموع متغیرهای تصادفی N است. توسط Lemma 5. 1 ، ما به راحتی می توانیم انتظار هر یک از متغیرهای تصادفی را محاسبه کنیم. با معادله (C. 20) - خطی بودن انتظار - محاسبه انتظار مبلغ آسان است: این برابر با مجموع انتظارات متغیرهای تصادفی N است. خطی بودن انتظار ، استفاده از متغیرهای تصادفی شاخص را به یک روش تحلیلی قدرتمند تبدیل می کند. این حتی در صورت وابستگی بین متغیرهای تصادفی اعمال می شود. اکنون می توانیم به راحتی تعداد مورد انتظار سرها را محاسبه کنیم:

بنابراین ، در مقایسه با روش مورد استفاده در معادله (c. 36) ، متغیرهای تصادفی شاخص محاسبه را تا حد زیادی ساده می کنند. ما در طول این کتاب باید از متغیرهای تصادفی شاخص استفاده کنیم.

تجزیه و تحلیل مشکل استخدام با استفاده از متغیرهای تصادفی شاخص

با بازگشت به مشکل استخدام ، اکنون می خواهیم تعداد مورد انتظار بارها که یک دستیار دفتر جدید را استخدام می کنیم محاسبه کنیم. به منظور استفاده از یک تحلیل احتمالی ، فرض می کنیم که نامزدها به ترتیب تصادفی وارد می شوند ، همانطور که در بخش قبلی بحث شده است.(ما در بخش 5. 3 خواهیم دید که چگونه این فرض را حذف کنیم.) بگذارید x متغیر تصادفی باشد که مقدار آن برابر با تعداد دفعاتی است که ما یک دستیار دفتر جدید را استخدام می کنیم. سپس می توانیم تعریف مقدار مورد انتظار را از معادله (c. 19) به دست آوریم

اما این محاسبه دست و پا گیر خواهد بود. در عوض ما باید از متغیرهای تصادفی شاخص استفاده کنیم تا محاسبه را تا حد زیادی ساده کنیم.

برای استفاده از متغیرهای تصادفی شاخص ، به جای محاسبه E [x] با تعریف یک متغیر مرتبط با تعداد دفعاتی که یک دستیار دفتر جدید را استخدام می کنیم ، متغیرهای N مربوط به اینکه آیا هر نامزد خاص استخدام شده یا خیر ، تعریف می کنیم. به طور خاص ، ما اجازه می دهیم x_iمتغیر تصادفی نشانگر مرتبط با رویدادی باشد که در آن نامزد اول استخدام می شود. بدین ترتیب،

(5. 2)

(5. 3)

توسط Lemma 5. 1 ، ما آن را داریم

و بنابراین ما باید این احتمال را محاسبه کنیم که خطوط 5 - 6 از استخدام اجاره اجرا شود.

کاندیدای من در خط 5 استخدام می شود ، دقیقاً وقتی نامزد من بهتر از هر یک از نامزدهای 1 تا I - 1 است ، زیرا فرض کرده ایم که نامزدها به یک ترتیب تصادفی می رسند ، اولین نامزدهای I به ترتیب تصادفی ظاهر شده اند. هر یک از این نامزدهای اول من به همان اندازه احتمالاً بهترین مهارت را دارند. نامزد I احتمال 1/ i از واجد شرایط بودن بهتر از نامزدهای 1 تا I - 1 و در نتیجه احتمال 1/ I استخدام شدن دارد. توسط Lemma 5. 1 ، ما نتیجه می گیریم

(5. 4)

اکنون می توانیم E [x] را محاسبه کنیم:

(5. 5)

(5. 6)

حتی اگر با افراد N مصاحبه می کنیم ، ما به طور متوسط تقریباً تقریباً از آنها استخدام می کنیم. ما این نتیجه را در Lemma زیر خلاصه می کنیم.

با فرض اینکه نامزدها به ترتیب تصادفی ارائه شده اند ، استخدام الگوریتم استخدام کننده کل هزینه استخدام O (c_hln n).

اثبات محدوده بلافاصله از تعریف ما از هزینه استخدام و معادله (5. 6) دنبال می شود.

هزینه مصاحبه مورد انتظار پیشرفت قابل توجهی نسبت به بدترین هزینه استخدام O است (NC_h ).

در استخدام استخدام ، با فرض اینکه نامزدها به ترتیب تصادفی ارائه می شوند ، احتمال اینکه دقیقاً یک بار استخدام کنید ، چقدر است؟احتمال اینکه دقیقاً n بار استخدام کنید چیست؟

در استخدام استخدام ، با فرض اینکه نامزدها به ترتیب تصادفی ارائه می شوند ، احتمال اینکه شما دقیقاً دو بار استخدام کنید چیست؟

از متغیرهای تصادفی شاخص برای محاسبه مقدار مورد انتظار مبلغ تاس N استفاده کنید.

برای حل مشکل زیر ، که به عنوان مشکل بررسی کلاه شناخته می شود ، از متغیرهای تصادفی شاخص استفاده کنید. هر یک از مشتری ها در یک رستوران کلاه به یک کلاه چک می دهند. شخص چک کلاه به ترتیب تصادفی کلاه ها را به مشتریان باز می گرداند. تعداد مورد انتظار مشتریانی که به کلاه خودشان باز می گردند چیست؟

بگذارید A [1 .. n] آرایه ای از n اعداد مجزا باشد. اگر من< j and A [ i ] >A [j] ، سپس جفت (i ، j) وارونگی از a نامیده می شود.(برای اطلاعات بیشتر در مورد وارونگی ، به مسئله 2-4 مراجعه کنید.) فرض کنید که هر عنصر A به طور تصادفی ، مستقل و یکنواخت از محدوده 1 تا n انتخاب می شود. برای محاسبه تعداد مورد انتظار وارونگی از متغیرهای تصادفی شاخص استفاده کنید.