فرمول توالی فیبوناچی

دنباله فیبوناچی یکی از فرمول های شناخته شده در تئوری تعداد است. در دنباله فیبوناچی ، هر عدد در سری با اضافه کردن دو عدد قبل از آن محاسبه می شود. به طور کلی ، دو اصطلاح اول سری Fibonacci 0 و 1 است. دنباله فیبوناچی در هند صدها سال قبل از لئوناردو پیسانو بیگولو شناخته شده بود. 23 نوامبر به عنوان روز فیبوناچی جشن گرفته می شود ، زیرا رقم های "1 ، 1 ، 2 ، 3" را دارد که بخشی از دنباله است.

دنباله فیبوناچی به شرح زیر است:

0 ، 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 ، 144 ، 233 ، 377 ، 610 ، 987 ، 1597 ، 2584 ، 4181 ، 6765 ، 10946 ،….

دنباله فیبوناچی برای عملکرد آن در ریاضیات پیشرفته و آمار ، علوم کامپیوتر ، اقتصاد و ماهیت مفید است.

فرمول شماره فیبوناچی

محاسبه اعداد فیبوناچی

برای محاسبه شماره 5 فیبوناچی ، شماره های فیبوناچی 4 و 3 را اضافه کنید.

نسبت طلایی

در انتخاب هر دو شماره فیبوناچی متوالی (یکی پس از دیگری) ، نسبت آنها به 1. 618034 نزدیک است و به آن نسبت طلایی گفته می شود. این توسط "φ" مشخص شده است. نسبت طلایی به طور کلی در طبیعت قابل مشاهده است ، و هنگامی که در یک طرح استفاده می شود ، آثار طبیعی را تقویت می کند که از چشم لذت بخش است. عملیات بیشماری از نسبت طلایی در زمینه معماری وجود دارد. برای تصویرگری ، هرم بزرگ مصر و مسجد بزرگ کایروان بسیاری از معجزات معماری است که در آن مفهوم نسبت طلایی اعمال شده است.

توجه: نسبت طلایی را می توان از هر دنباله فیبوناچی محاسبه کرد ، لزوماً لازم نیست با 2 و 3 شروع شود.

محاسبه تعداد فیبوناچی با استفاده از نسبت طلایی

هر شماره فیبوناچی را می توان با استفاده از این فرمول محاسبه کرد ،

x_nتعداد فیبوناچی را محاسبه می کند

φ نسبت طلایی است که 1. 618034 است

به عنوان مثال: اگر می خواهید اصطلاح 7 را محاسبه کنید:

شماره فیبوناچی بعدی را می توان با استفاده از نسبت طلایی نیز محاسبه کرد. ضرب یک عدد فیبوناچی با نسبت طلایی ، تعداد فیبوناچی بعدی دنباله را به شما می دهد. اما این فقط برای اعداد بیشتر از 1 کار می کند.

مثال: 13*1. 618034 = 21. 034442 = 21 (دور خاموش)

برخی از مشکلات بر اساس نسبت طلایی

سوال 1: اگر نسبت طلایی داده شده 1. 618034 باشد ، شماره فیبوناچی 9 را محاسبه کنید.

راه حل:

ما می توانیم با استفاده از فرمول ، شماره فیبوناچی 9 را محاسبه کنیم:

x_n= (φ n - (1 - φ) n)/√5

x₉= ((1. 618034) 9 -(1-1. 618034) 9)/√5

x₉= (76. 0131604-(-0. 0131556197))/√5 = 34. 0000021

x₉= 34

سوال 2: تعداد پاسخ های بعدی فیبوناچی را که در سوال فوق محاسبه شده است ، پیدا کنید.

راه حل:

با ضرب آن با نسبت طلایی که 1. 618034 است ، تعداد فیبوناچی بعدی 34 را می توان به راحتی یافت.

x₁₀= 34 × 1. 61803 = 55. 01302

x₁₀= 55 (دور دور)

برخی از مشکلات بر اساس اعداد فیبوناچی

سوال 1: اگر شرایط 5 و 6 دنباله فیبوناچی به ترتیب 3 و 5 باشد ، دوره هفتم دنباله را پیدا کنید.

راه حل:

با استفاده از فرمول دنباله فیبوناچی ، می توانیم به راحتی دوره هفتم دنباله فیبوناچی را که مجموع اصطلاحات 5 و 6 است محاسبه کنیم.

اصطلاح هفتم = مدت 5 + دوره 6

= 3+5

= 8

دوره هفتم دنباله فیبوناچی 8 است.

سوال 2: 4 عدد اول در دنباله فیبوناچی به عنوان 1،1،2،3 آورده شده است.

(الف) هشتم دوره توالی فیبوناچی چیست؟

(ب) یازدهمین دوره توالی فیبوناچی چیست؟

راه حل:

با استفاده از فرمول شماره فیبوناچی ، می توانیم بقیه اعداد فیبوناچی مانند 1 ، 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 8 ، 13 ، 21 ، 34 ، 55 ، 89 را محاسبه کنیم.

(الف) بنابراین ، دوره هشتم 21 خواهد بود.

(ب) دوره یازدهم 89 خواهد بود.

سوال 3: 3 اصطلاح بعدی را برای هر یک از توالی های زیر به سبک فیبوناچی پیدا کنید.

(الف) x ، 4x ، 5x ، 9x ،…

(ب) 3a ، 3a+b ، 6a+b ، 9a+2b….

راه حل:

با استفاده از فرمول توالی فیبوناچی ، می توانیم به راحتی بقیه اصطلاحات را محاسبه کنیم

(الف) اصطلاح پنجم = 5x+9x = 14x ،

اصطلاح ششم = 9x+14x = 23x ،

اصطلاح هفتم = 14x+23x = 37x

(ب) اصطلاح پنجم = 6a+b+9a+2b = 15a+3b ،

اصطلاح ششم = 9a+2b+15a+3b = 24a+5b ،

اصطلاح هفتم = 15a+3b+24a+5b = 39a+8b

سوال 4: جان می خواهد یک سری فیبوناچی با دوره اول 3 و دوره دوم به عنوان 4 تولید کند.

(الف) اصطلاحات 3 و 4 را پیدا کنید.

(ب) او فکر می کند که مجموع ده اصطلاح اول برابر با یازده بار دوره هفتم دنباله خود است. بررسی کنید که آیا او صحیح است یا خیر.

راه حل:

با استفاده از 3 و 4 به عنوان اصطلاحات اول و دوم ، می توانیم با اضافه کردن دو اصطلاح آخر ، بقیه شرایط را محاسبه کنیم.

(الف) اصطلاح اول = 3 ،

دوره دوم = 4 ،

اصطلاح سوم = 3+4 = 7 ،

Term Term = 4+7 = 11

(ب) در محاسبه ده دوره اول این سریال: 3،4،7،11،18،29،47،76،123،199.

جمع ده اصطلاح اول = 3+4+7+11+18+29+47+76+123+199 = 517

دوره هفتم = 47

یازده بار اصطلاح 7 = 11*47 = 517

همانطور که می بینیم که مجموع ده اصطلاح اول برابر با یازده برابر دوره هفتم دنباله او است. بنابراین ، جان درست بود.

سوال 5: اگر 4 اصطلاح اول 0،1،1،2 باشد ، اولین شماره مربع سه رقمی که در لیست شماره های فیبوناچی ظاهر می شود ، چیست.

راه حل:

با استفاده از فرمول توالی فیبوناچی ، می توانیم به راحتی بقیه اصطلاحات را محاسبه کنیم:

0،1،2،3،5،8،13،21،34،55،89،144،233،377 ،…

همانطور که می توانیم اولین شماره سه رقمی را مشاهده کنیم که مربعی است که در لیست شماره های فیبوناچی ظاهر می شود ، 144 (مربع 12) است.